Teorema de Bayes
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso
inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad
total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del
suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la
probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de
Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)
deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen
tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que
vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en
el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema
completo.
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin
de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que
ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la
ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de
Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia
con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que
incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades
del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se
denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del
accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
